Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=2

3

，b=c=2，求角A的大小；
（2）若a=2，A=

π

3

，B=

5π

12

，求c边的长；
（3）设

m

=(cosA，cos2A)，

n

=(-

12

5

 ， 1)，且

m

•

n

取最小值时，求tan(A-

π

4

)值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，把已知的三边代入，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）由A和B的度数，利用三角形的内角和定理求出C的度数，再由正弦定理得到

a

sinA

=

c

sinC

，将a，sinA及sinC的值代入，即可求出c的值；
（3）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则表示出

m

•

n

，利用二倍角的余弦函数公式化简后，配方得到关于cosA的二次函数，根据二次函数的性质可得出

m

•

n

取得最小值时，cosA的值，由A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而确定出tanA的值，最后把所求的式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tanA的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵a=2

3

，b=c=2，
∴由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4+4-12

8

=-

1

2

，
又A为三角形的内角，
则A=

2π

3

；…（4分）
（2）∵A=

π

3

，B=

5π

12

，则C=

π

4

，…（6分）
∴sinA=

3

2

，sinC=

2

2

，又a=2，
∴由正弦定理得：

2

3 2

=

c

2 2

，
∴c=

2 6

3

；…（8分）
（3）∵

m

=(cosA，cos2A)，

n

=(-

12

5

， 1)，
∴

m

•

n

=-

12

5

cosA+cos2A=-

12

5

cosA+2cos2A-1=2(cosA-

3

5

)2-

43

25

，…（10分）
∴当cosA=

3

5

时，

m

•

n

取最小值，
又A为三角形的内角，
∴sinA=

1-cos2A

=

4

5

，
∴tanA=

4

3

，…（13分）
则tan(A-

π

4

)=

tanA-1

1+tanA

=

4 3 -1

1+ 4 3

=

1

7

．…（15分）．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，两角和与差的正切函数公式，二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值，以及二次函数的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．