Question

设函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）在（2）的条件下，设函数，若对于 [1，2]， [0，1]，使成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）单调增区间为;单调减区间为；（3）b的取值范围是

解析试题分析：(1)由函数当时，首先求出函数的定义域.再通过求导再求出导函数当时的导函数的的值即为切线的斜率.又因为过点则可求出在的切线方程.本小题主要考查对数的求导问题.
（2）当时通过求导即可得，再求出导函数的值为零时的x值.由于定义域是x大于零.所以可以根据导函数的正负值判断函数的单调性.
（3）由于在（2）的条件下，设函数，若对于 [1，2]， [0，1]，使成立.等价于在上的最小值要大于或等于在上的最小值.由于是递增的所以易求出最小值.再对中的b进行讨论从而得到要求的结论.
试题解析：函数的定义域为，                      1分
                                 2分
（1）当时，，，       3分
，
，                                           4分
在处的切线方程为.                    5分
(2) .
当,或时, ;                             6分
当时, .                                        7分
当时，函数的单调增区间为;单调减区间为.   8分
(如果把单调减区间写为,该步骤不得分)
（3）当时，由（2）可知函数在上为增函数，
∴函数在[1，2]上的最小值为              9分
若对于[1，2]，≥成立在上的最小值不大于在[1，2]上的最小值（*）