Question

【题目】已知A，B，C是椭圆W： 上的三个点，O是坐标原点．
（1）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形OABC为菱形，B是椭圆的右顶点（2，0）

∴直线AC是BO的垂直平分线，可得AC方程为x=1

设A（1，t），得 ，解之得t= （舍负）

∴A的坐标为（1， ），同理可得C的坐标为（1，﹣ ）

因此，|AC|= ，可得菱形OABC的面积为S= |AC||B0|= ；

（2）解：∵四边形OABC为菱形，∴|OA|=|OC|，

设|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C两点是圆x2+y2=r2

与椭圆W: 的公共点，解之得 =r2﹣1

设A、C两点横坐标分别为x1、x2，可得A、C两点的横坐标满足

x1=x2= ，或x1= 且x2=﹣ ，

①当x1=x2= 时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是右顶点（2，0）；

②若x1= 且x2=﹣ ，则x1+x2=0，

可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC

综上所述，可得当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．

【解析】（1）根据B的坐标为（2，0）且AC是OB的垂直平分线，结合椭圆方程算出A、C两点的坐标，从而得到线段AC的长等于 ．再结合OB的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC的面积；（2）若四边形OABC为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A、C的横坐标满足 =r2﹣1，从而得到A、C的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．