Question

【题目】对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，那么，

（1）求函数的“稳定点”；

（2）求证：；

（3）若，且，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）“稳定点”为；（2）见解析；（3）

【解析】

本题拿出一个概念来作为新型定义题，只需要去对定义的理解就好，要求函数的“稳定点”只需求方程中的值，即为“稳定点”

若，有这是不动点的定义，此时得出，，如果，则直接满足.

先求出即存在“不动点”的条件，同理取得到存在“稳定点”的条件，而两集合相等，即条件所求出的结果一直，对结果进行分类讨论.

（1）由有，得：，所以函数的“稳定点”为；

（2）证明：若，则，显然成立；

若，设，有，则有，

所以，故

（3）因为，所以方程有实根，即有实根，

所以或，解得又由得：即由（1）知，故方程左边含有因式

所以，又，

所以方程要么无实根，要么根是方程的解，

当方程无实根时，或，即，

当方程有实根时，则方程的根是方程的解，

则有，代入方程得，故，

将代入方程，得，所以.

综上：的取值范围是.