Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且．

（1）求椭圆方程；

（2）对于x轴上的某一点T，过T作不与坐标轴平行的直线L交椭圆于两点，若存在x轴上的点S，使得对符合条件的L恒有成立，我们称S为T的一个配对点，当T为左焦点时，求T的配对点的坐标；

（3）在（2）条件下讨论当T在何处时，存在有配对点？

Answer 1

【答案】（1）（2）（-4，0）（3）

【解析】

（1）设椭圆的顶点为P,由可得,由结合椭圆的定义可得2a,结合可求椭圆的方程

（2）可设过T的直线方程为,,联立椭圆方程整理可得,设,,,由得即,结合方程的根与系数的关系代入可求a

（3）设,直线的方程,,使得对符合条件的L恒有成立,则T必须在之间即

同（2）的整理方法,联立直线与椭圆方程由可得,,同（2）的方法一样代入可求

解：（1）设椭圆的顶点为P,由可得

可得

,

椭圆的方程为：

（2）,

则过可设过T的直线方程为,,

联立椭圆方程整理可得

设,,,则,

整理可得

即

（3）设,直线的方程,

使得对符合条件的L恒有成立,则T必须在之间即

同（2）的整理方法,联立直线与椭圆方程可得,,

由可得,

同（2）的方法一样代入可求.