Question

【题目】如图所示，已知圆的圆心在直线上，且该圆存在两点关于直线对称，又圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点，直线与相交于点．

（1）求圆的方程；

（2）当时，求直线的方程；

（3）是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)或；(3)是，.

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件构建方程组求解；(2)借助题设建立方程组求解；(3)运用向量的坐标形式的运算推证求解.

试题解析：

（1）由圆存在两点关于直线对称知圆心在直线上，

由得．

设圆的半径为，因为圆与直线相切，

所以．

所以圆的方程为．

（2）当直线与轴垂直时，易知符合题意．．

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，

即连接，则，

∵，∴，

由，得

∴直线的方程为．

∴所求直线的方程为或．

（3）∵，∴，

∴，

当直线与轴垂直时，得，则，又，

∴

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由，解得，∴，

∴

综上所述，是定值，且为-10．