Question

已知双曲线C的方程为

x2

4

-

y2

5

=1，若直线x-my-3=0截双曲线的一支所得弦长为5．
（I）求m的值；
（II）设过双曲线C上的一点P的直线与双曲线的两条渐近线分别交于P₁，P₂，且点P分有向线段

P1P2

所成的比为λ（λ＞0）．当λ∈[

3

4

，

3

2

]时，求|

OP1

||

OP2

|（O为坐标原点）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）由直线x-my-3=0可知：直线恒过定点焦点F₂（3，0）．于是直线与双曲线的右支相交，设两点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由双曲线的第二定义可得：

|AF2|

|x1- a2 c |

=e=

3

2

，即|AF2|=

3

2

x1-2，同理|BF2|=

3

2

x2-2．于是|AB|=|AF₂|+|BF₂|=

3

2

(x1+x2-4)，由题意可得：

3

2

(x1+x2)-4=5，由直线过焦点F₂（3，0），可知x₁=x₂=3，此时直线垂直于x轴，即可得出m的值．
（II）利用线段的定比分点坐标公式即可得出点P的坐标用P₁，P₂的坐标表示，代入双曲线的方程即可得出x₁x₂，进而得出|

OP1

||

OP2

|的最值．

解答：解：（I）由双曲线C的方程为

x2

4

-

y2

5

=1可得a=2，b=

5

，
∴c=3，e=

c

a

=

3

2

．
左右焦点分别为F₁（-3，0），F₂（3，0）．
由直线x-my-3=0可知：直线恒过定点焦点F₂（3，0）．
于是直线与双曲线的右支相交，设两点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由双曲线的第二定义可得：

|AF2|

|x1- a2 c |

=e=

3

2

，即|AF2|=

3

2

x1-2，同理|BF2|=

3

2

x2-2．
∴|AB|=|AF₂|+|BF₂|=

3

2

(x1+x2-4)，由题意可得：

3

2

(x1+x2)-4=5，∴|x₁+x₂|=6，
由直线过焦点F₂（3，0），可知x₁=x₂=3，
此时直线垂直于x轴，∴m=0．
（II）双曲线C的渐近线方程分别为l₁：y=

5

2

x，l₂：y=-

5

2

x．
设P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
且点P分有向线段

P1P2

所成的比为λ（λ＞0）．
则y1=

5

2

x1，y2=-

5

2

x2，x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

=

5

2

•

x1-λx2

1+λ

．
由点P（x，y）在双曲线

x2

4

-

y2

5

=1上，∴

(x1+λx2)2

4(1+λ)2

-

5

4

•

(x1-λx2)2

(1+λ)2

=1，
化简得x1x2=

(1+λ)2

λ

，又|

OP1

|=

x 2 1 + 5 4 x 2 1

=

3

2

|x1|，同理可得：|

OP2

|=

3

2

|x2|，
∴|

OP1

| |

OP2

|=

9

4

•

(1+λ)2

λ

(λ＞0)，
令u（x）=

(1+λ)2

λ

=λ+

1

λ

+2，
又u（λ）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，而λ∈[

3

4

，

3

2

]，
∴u（λ）_min=u（1）=4，u（λ）_max=u(

3

2

)=

25

6

．
于是：|

OP1

| |

OP2

|的最大值为

75

8

，最小值为9．

点评：熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、线段的定比分点坐标公式、函数的单调性等是解题的关键．