Question

已知函数f（x）=

1 4 x+1，x≤1 lnx，x＞1

，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（　　）（注：e为自然对数的底数）

• A、（0，

  1

  e

  ）
• B、[

  1

  4

  ，

  1

  e

  ]
• C、（0，

  1

  4

  ）
• D、[

  1

  4

  ，e]

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．

解答：解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，
∴y=f（x）与y=ax有2个交点，
又∵a表示直线y=ax的斜率，
∴y′=

1

x

，
设切点为（x₀，y₀），k=

1

x0

，
∴切线方程为y-y₀=

1

x0

（x-x₀），
而切线过原点，∴y₀=1，x₀=e，k=

1

e

，
∴直线l₁的斜率为

1

e

，
又∵直线l₂与y=

1

4

x+1平行，
∴直线l₂的斜率为

1

4

，
∴实数a的取值范围是[

1

4

，

1

e

）．
故选：B．

点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．