Question

【题目】已知函数在处的导数为，，

（1）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.

（2）若在上有且只有一个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由，求出，当时，易知不等式成立；当时，恒成立可转化为恒成立，令，求导判断的单调性，求出最小值，即可得到的取值范围；

（2）由（1）知，，从而，因为函数为偶函数，且，所以要使在上有且只有一个零点，只需时，和没有交点，对、、三种情况分类讨论，可得的取值范围.

（1）由题意，，由，解得，

所以，

①当时，，，不等式成立，

②当时，恒成立可转化为恒成立，

令，，

，

令，则，

因为，所以恒成立，

在上单调递减，，

又时，，所以，

所以在上单调递减，，

所以；

（2）由（1）知，，

所以，

则，

所以是偶函数，且，

所以要使在上有且只有一个零点，

只需时，和没有交点.

①当时，，

，解得，，不成立；

②当时，和的图象如图1所示，

由图像知，当时，和相交于原点，

和只有一个交点，故时成立；

③当时，和的图象如图2所示，

有图象知，要使和只有一个交点，

则对任意，有，即，

即在恒成立，

，当时，恒成立，

所以即在单调递增，，

此时成立，符合题意，

当时，存在，使得在上递减，此时，不合题意，

综上所述，当在上有且只有一个零点，.