Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点．
（1）求证：PB⊥DM；
（2）求CD与平面ADMN所成角的正弦值；
（3）在棱PD上是否存在点E，PE：ED=λ，使得二面角C-AN-E的平面角为60°．存在求出λ值．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，利用

PB

•

DM

=0?

PB

⊥

DM

即可证明；
（2）先求出平面ADMN的法向量，利用斜线段CD的方向向量与平面的法向量的夹角即可得出；
（3）利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．

解答：解：（1）如图以A为原点建立空间直角坐标系，不妨设|AB|=2．
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），M（1，

1

2

，1），N（1，0，1），P（0，0，2），
∵

PB

=（2，0，-2），

DM

=（1，-

3

2

，1），∴

PB

•

DM

=0，∴PB⊥DM．
（2）由（1）可得：

CD

=（-2，1，0），

AD

=（0，2，0），

AN

=（1，0，1）．
设平面ADMN法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AD =0 n • AN =0

得到

2y=0 x+z=0

，令x=1，则z=-1，y=0，∴

n

=（1，0，-1）．
设CD与平面ADMN所成角α，则sinα=

| CD • n |

| CD| •| n |

=

2

5 • 2

=

10

5

．
（3）假设在棱PD上存在点E（0，m，2-m），满足条件．
设平面ACN法向量

p

=（x，y，z），由

AC

=(2，1，0)，

p

•

AC

=0，

p

•

AN

=0，
可得

2x+y=0 x+z=0

，令x=1，则y=-2，z=-1，∴

p

=（1，-2，-1）．
设平面AEN的法向量

q

=（x₀，y₀，z₀），由

AE

=(0，m，2-m)，

q

•

AE

=0，

q

•

AN

=0，
可得

my0+(2-m)z0=0 x0+z0=0

，令x₀=1，则z₀=-1，y0=

2-m

m

，∴

q

=(1，

2-m

m

，-1)．
∴cos60°=

| p • q |

| p | | q |

，得

1

2

=

|2- 4-2m m |

6 2+( 2-m m )2

，化为

6

2

2m2+(m-2)2

=|4m-4|，
化为23m²-52m+20=0，又m∈[0，2]．
解得m=

52- 214

23

，满足m∈[0，2]．
∴λ=PE：ED=

m2+m2

：

2(2-m)2

=m：（2-m）=(52-

214

)：(

214

-6)．

点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用

PB

•

DM

=0?

PB

⊥

DM

、斜线的方向向量与平面的法向量的夹角求线面角、利用两个平面的法向量的夹角求二面角是解题的关键．