Question

【题目】已知动圆过定点且与定直线相切，动圆圆心的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）已知斜率为的直线交轴于点，且与曲线相切于点，设的中点为（其中为坐标原点）.求证：直线的斜率为0.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)利用题意结合抛物线的定义可知点的轨迹是以为焦点的抛物线，其轨迹方程为.

(Ⅱ)设直线，联立直线方程与抛物线方程可得，结合判别式为0可得，据此可得联立的方程即，解得，结合中点坐标公式有，据此可得直线的斜率为0.

试题解析：

（Ⅰ）根据题意，点的轨迹是以为焦点的抛物线，

故曲线的方程为.

（Ⅱ）设直线，联立得（*）

由，解得，

则直线，得，

此时，（*）化为，解得，

所以，即，又为的中点，故，

所以，即直线的斜率为0.