Question

【题目】在圆上任取一点,过点作轴的垂线段,垂足为,点在直线上,且,当点在圆上运动时.

(1)求点的轨迹的方程，并指出轨迹.

(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

Answer 1

【答案】（1），椭圆，（2）见解析.

【解析】

(1)设点的坐标为，由,可得，代入化简即可得结果；(2)设直线，代入可得,利用韦达定理以及中点坐标公式可得 ,从而可得结论.

(1)设点的坐标为，

因为在圆上，所以

设,因为，且与轴垂直，

所以，代入

可得，化为，

即的方程为，轨迹表示焦点在轴上的椭圆.

(2)设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．

将y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.

故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.

所以直线OM的斜率kOM＝＝－，

所以kOM·k＝－.

故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．