Question

【题目】若无穷数列满足：恒等于常数,则称具有局部等差数列.

（1）若具有局部等差数列，且，求；

（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有局部等差数列，并说明理由；

（3）设既具有局部等差数列，又具有局部等差数列，求证：具有局部等差数列.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】解：（1）由题意得， ，，．

于是，又因为，代入解得．………………3分

（2）的公差为，的公比为，

所以，．

．

，当时，不恒为常数，

所以不具有局部等差数列．………………8分

（3）由题意得：当时成等差数列， 也成等差数列，

所以当时

于是当时成等差数列，因此（），

从而当时成等差数列，公差为

由当时，

所以

因此当时成等差数列，公差为 ，即具有局部等差数列.………………16分

【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的通项公式，数列单调性，反证法等基础知识，意在考查逻辑思维及推理能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力．