Question

已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆相交于、两点， 为原点，在、上分别存在异于点的点、，使得在以为直径的圆外，求直线斜率的取值范围．

Answer 1

(1) (2)

解析试题分析：(1)利用待定系数法设椭圆方程为，然后利用题目条件建立方程，解方程即可；（2）联立直线与椭圆方程，得到关于x的一元二次方程，，然后利用韦达定理结合点在圆外为锐角，即，建立不等式求直线斜率的取值范围即可.
试题解析：（1）依题意，可设椭圆的方程为．
由
∵ 椭圆经过点，则，解得
∴ 椭圆的方程为
（2）联立方程组，消去整理得
∵ 直线与椭圆有两个交点，
∴ ，解得  ① 
∵ 原点在以为直径的圆外，∴为锐角，即．
而、分别在、上且异于点，即   
设两点坐标分别为，
则

解得  ， ②  
综合①②可知：  
考点：(1)椭圆的标准方程；（2）点与圆的位置关系；（3）韦达定理.