Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，点满足以为直径的圆过椭圆的上顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线过右焦点与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得为定值？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

（1）由点在椭圆上代入可得，的关系，再由点满足以为直径的圆过椭圆的上顶点．可得可得，的关系，再由，，的关系求出椭圆的方程；

（2）由（1）可得右焦点的坐标，分坐标的斜率为0和不为0两种情况讨论，假设存在满足条件，设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出数量积的表达式，要使数量积为定值，则分子分母对应项的系数成比例，可得的值，且可求出定值．

解：（1）由题意可得上顶点，，所以：，，即，，即，，

解得：，，

所以椭圆的方程为：；

（2）由（1）可得右焦点的坐标，假设存在

当直线的斜率不为0时，设直线的方程为：，设，，，，

联立直线与椭圆的方程，整理可得：，，，

，，

因为

，

要使为定值，则，解得：，这时为定值，

当直线的斜率为0时，则，，为，，则，，，

综上所述：所以存在，，使为定值．