Question

【题目】已知函数，

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数和的图像有两个交点，它们的横坐标分别为，求证：

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）先对函数求导，得到，求出，，进而可得出结果；

（2）先令，对函数求导，得到，分别讨论，，三种情况，用导数研究函数单调性，最值等，即可证明结论成立.

（1）因为，

所以，

所以，又，

所以切线方程为：，即.

（2）令，依题意有两个零点.

又，

①当，则，只有一个零点，

②当，由得或.

若，则，故当时，，

因此在上单调递增.

又当时，，所以不存在两个零点.

若，则，故当时，；

当时，.

因此在单调递减，在）单调递增.

又当时，，所以不存在两个零点.

③当，则当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

又，，取满足且，

则，

故存在两个零点；

不妨设，由③知，，，在上单调递减，所以等价于，即.

由于，而，

所以.

设，则.

所以当时，，而，故当时，.

从而，故