Question

（本小题满分12分）已知函数．

（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；

（Ⅱ）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）显然函数的定义域为.

因为，所以，

当时，在上恒成立，函数 在单调递减，

∴在上没有极值点；                                              ……3分

当 时，由得，由得，

∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．

∴当时在上没有极值点，当时在上有一个极值点.……6分

（Ⅱ）∵函数在处取得极值，由（Ⅰ）结论知，

∴，                                      ……8分

令，所以，

令可得在上递减，令可得在上递增，   ……10分

∴，即.                                   ……12分

考点：本小题主要考查函数的求导、函数的单调性、函数的极值最值和恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力.

点评：导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题.对于题目条件较复杂，设问较多的题目审题时，应该细致严谨，将题目条件条目化，一一分析，细心推敲.对于设问较多的题目，一般前面的问题较简单，问题难度阶梯式上升，先由条件将前面的问题正确解答，然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件，注意问题之间的相互联系，使问题化难为易，层层解决.