Question

【题目】已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.

（1）求函数a的取值范围；

（2）记函数的两个极值点为，，且，证明对任意实数，都有不等式成立.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见详解.

【解析】

（1）将函数有两个极值点的问题，转化为导函数有两个零点的问题，再转化为函数图像有交点的问题，利用导数的几何意义求得临界状态时直线的斜率即可求得参数范围；

（2）根据的单调性，将问题转化为求证，再构造函数，根据其单调性，即可证明.

（1）依题

有两个不同的极值点，即有两个不等实根.

亦即函数与图象在上有两个不同交点

若令过原点且与图象相切的直线斜率为k，则只需

设切点为，则，而

故，于是，所以

（2）证明：令则

由时，，单调递增

时，，单调递减

知是的极大值点

故且

等价于

∵，∴

故只需证即可

令，

则

故

∵∴，，∴

∴在单调递增∴

∴∵∴

又∵∴

又∵，且在单调递增

∴∴即原不等式成立