Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：面平面；

（3）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）利用线面平行的判定定理：连接，只需证明，利用中位线定理即可得证；（2）利用面面垂直的判定定理：只需证明面，进而转化为证明，，易证三角形为等腰直角三角形，可得；由面面的性质及正方形的性质可证面，得；（3）利用等体积法可得结果.

试题解析：（1）证明：因为为正方形，连接交于点，又因为在中，为中点，为中点，∴，且平面，平面，∴平面；

（2）证明：因为为正方形，∴，又面 面，平面平面 ，平面，所以平面，∴，又，所以是等腰直角三角形，且，即，又因为，且平面，所以平面，又平面，∴平面平面；

（3）因为，所以点到平面的距离等于点到平面距离，

所以 ，所以三棱锥的体积是.