Question

【题目】在数列{an}中，a1＝3，且对任意的正整数n，都有an+1＝λan+2×3n，其中常数λ＞0．

（1）设bn．当λ＝3时，求数列{bn}的通项公式；

（2）若λ≠1且λ≠3，设cn＝an，证明：数列{cn}为等比数列；

（3）当λ＝4时，对任意的n∈N*，都有an≥M，求实数M的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析（3）最大值为3．

【解析】

（1）当可得,等式两边同除,进而根据等差数列定义以及通项公式求解即可；

（2）将代入中,整理后得递推关系，再根据等比数列定义即可证明；

（3）当时可得,等式两边同除并设,则,利用累加法求得,即可求得,再判断数列的单调性,进而求解即可.

（1）当λ＝3时,有an+1＝3an+2×3n,

∴,

,则,

又∵,∴数列{bn}是首相为1,公差为的等差数列,

∴

（2）证明：当λ＞0且λ≠1且λ≠3时,

,

又∵,

∴数列是首项为,公比为λ的等比数列

（3）当λ＝4时,an+1＝4an+2×3n,

∴,

设pn,∴,

∴,

,

,

,

∴,

以上各式累加得:,

又∵,

∴,

∴,

∴,

,显然数列{an}是递增数列,

∴最小项为a1＝3,

∵对任意的n∈N*,都有an≥M,∴a1≥M,即M≤3,

∴实数M的最大值为3.