Question

【题目】如图，将矩形沿折成二面角，其中为的中点.已知，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点，连接，，由矩形性质及中位线定理可证明，，即四边形是平行四边形，即可由线面平行判断定理证明平面；

（2）解法一：取的中点，的中点，连接，，，利用线面垂直及面面垂直的性质和判定，可证明即为与平面所成角，结合所给线段关系，即可求解；解法二，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，以垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，根据所给线段关系可求得的坐标，进而求得平面的法向量，即可由线面夹角的空间向量法求解.

（1）证明：取的中点，连接，，如下图所示：

为矩形，且为的中点，

所以，，

又因为，

所以，，

所以四边形是平行四边形，

因此.

又平面，平面，

所以平面.

（2）解法一：取的中点，的中点，连接，，，如下图所示：

由，所以，

又，，所以平面，

所以，又，

已知与相交，所以平面，

所以平面平面.

又，所以平面，所以，

又，，

所以平面.

所以即为与平面所成角，

又，，所以

所以.

解法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，以垂直于平面的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系：

则，，，，设，

由即

得所以，，，，，

设平面的法向量，由得

取，

设与平面所成角为，

则

.