Question

【题目】已知f（x）= x3﹣2x2+3x﹣m
（1）求f（x）的极值
（2）当m取何值时，函数f（x）有三个不同零点？

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=（x﹣1）（x﹣3），

令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜1，

令f′（x）＜0，解得：1＜x＜3，

∴f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，3）递减，在（3，+∞）递增，

∴f（x）极大值=f（1）= ﹣m，f（x）极小值=f（3）=﹣m

（2）解：要使函数f（x）有3个不同零点，

只需 ，

即 ，解得：0＜m＜ ，

故0＜m＜ 时，函数f（x）有三个不同零点

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为f（x）的极大值大于0且f（x）的极小值小于0，得到关于m的不等式组，解出即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．