Question

（（本小题满分14分）

已知函数．

（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；

（2）当时，试比较与的大小；

（3）求证：（）．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）当时，，定义域是，

， 令，得或．  …2分

当或时，，当时，，

   函数在、上单调递增，在上单调递减．  ……………4分

的极大值是，极小值是．

当时，； 当时，，

当仅有一个零点时，的取值范围是或．……………5分

  （2）当时，，定义域为．

      令，

       ，

       在上是增函数．              …………………………………7分

①当时，，即；

②当时，，即；

③当时，，即．  …………………………………9分

（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．

令，则有，    ． ……………12分

，

．                ……………………………………14分

 (法二)当时，．

，，即时命题成立．   ………………………………10分

设当时，命题成立，即 ．

 时，．

根据（2）的结论，当时，，即．

令，则有，

则有，即时命题也成立．……………13分

因此，由数学归纳法可知不等式成立．                 ………………………………14分

（法三）如图，根据定积分的定义，

得．……11分

，

．  ………………………………12分

，

又，，

．

．                …………………………………14分

 

【解析】略