Question

【题目】在四棱锥中，．

（1）设与相交于点，，且平面，求实数的值；

（2）若且, 求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：(1)由 易得，然后利用平面性质易得实数的值；(2)先证明平面，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建 立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式可得二面角的正弦值．

详解：（1）因为,所以．

因为，平面，平面平面，

所以．

所以，即．

（2）因为,可知为等边三角形，

所以，又，

故，所有．

由已知，所以平面，

如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建

立空间直角坐标系，设，则，

所以，则，

设平面的一个法向量为，则有

即

设，则，所以，

设平面的一个法向量为，由已知可得

即　

令，则，所以 ．

所以，

设二面角的平面角为，则．