Question

【题目】下列说法：

①函数的单调增区间是；

②若函数定义域为且满足，则它的图象关于轴对称；

③函数的值域为；

④函数的图象和直线的公共点个数是，则的值可能是；

⑤若函数在上有零点，则实数的取值范围是.

其中正确的序号是_________.

Answer 1

【答案】③ ④ ⑤

【解析】

根据当x=0时，函数的解析式无意义可判断①；根据函数对称性，可得函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，可判断②；画出函数f（x）=（x∈R）的图象，结合函数图象分析出函数的值域，可判断③；画出函数y=|3﹣x2|的图象，可分析出函数y=|3﹣x2|的图象和直线y=a（a∈R）的公共点个数，可判断④；根据二次函数的图象和性质分析出函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）在x∈[1，3]上有零点，实数a的取值范围，可判断⑤．

当x=0时，x2﹣2x﹣3=﹣3，此时无意义，故①错误；

若函数y=f（x）满足f（1﹣x）=f（x+1），则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，故②错误；

画出函数f（x）=（x∈R）的图象如图，

由图可得函数的值域为（﹣1，1）；

画出函数y=|3﹣x2|的图象，

由图可知，函数y=|3﹣x2|的图象和直线y=a公共点可能是0，2，3，4个，故④正确

若f（x）在x∈[1，3]上有零点，则f（x）=0在x∈[1，3]上有实数解

∴2a=x+在x∈[1，3]上有实数解

令g（x）=x+则g（x）在[1，]单调递减，在（，3]单调递增且g（1）=6，g（3）=，∴2≤g（x）≤6，即2≤2a≤6，故 ≤a≤3故⑤正确

故答案为：③④⑤