【题目】已知双曲线:的右焦点为,半焦距,点到右准线的距离为,过点作双曲线的两条互相垂直的弦,,设,的中点分别为,.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)证明:直线必过定点,并求出此定点坐标.
【答案】(1)(2)证明见解析;定点
【解析】
(1)由题意可得的值,再由点到直线的距离为,可得的值,再由,,之间的关系求出双曲线的方程;
(2)设弦所在的直线方程,与双曲线的方程联立可得两根之和进而可得的中点的坐标,再由椭圆可得弦的中点的坐标,分别讨论当的斜率存在和不存在两种情况可得直线恒过定点.
(1)由题设可得,,所以,.
所以双曲线的标准方程为.
(2)证明:点,设过点的弦所在的直线方程为,,,
则有.
联立,可得.
因为弦与双曲线有两个交点,所以,
所以,所以.
(1)当时,点即是点,此时,直线为轴.
(2)当时,将上式点坐标中的换成,同理可得.
①当直线不垂直于轴时,
直线的斜率,
其方程,化简得,
所以直线过定点;
②当直线垂直于轴时,,此时,,直线也过定点.
综上所述,直线过定点.
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【题目】如图,在三棱柱中,已知,,侧面.
(Ⅰ)求直线与底面所成角正切值;
(Ⅱ)在棱(不包含端点)上确定一点E的位置,
使得(要求说明理由);
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若,求二面角的大小.
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【题目】如图是某地区2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位:万吨)的折线图.
注:年份代码分别表示对应年份.
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数(线性相关较强)加以说明;
(2)建立与的回归方程(系数精确到0.01),预测2019年该区生活垃圾无害化处理量.
(参考数据),,,,,,.
(参考公式)相关系数,在回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.
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【题目】波罗尼斯(古希腊数学家,约公元前262-190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(且)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有,,则当的面积最大时,AC边上的高为_______________.
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【题目】用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一,计数形式有纵式和横式两种,如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载:用“天元术”列方程,就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”,即是一种用数学符号列方程的方法,“立天元一为某某”,意即“设为某某”.如图2所示的天元式表示方程,其中,,…,,表示方程各项的系数,均为筹算数码,在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字,“太”或“元”向上每层减少一次幂,向下每层增加一次幂.
试根据上述数学史料,判断图3天元式表示的方程是( )
A.B.
C.D.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2(cos2θ+3sin2θ)=12,直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C交于M,N两点.
(1)若点P的极坐标为(2,π),求|PM||PN|的值;
(2)求曲线C的内接矩形周长的最大值.
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【题目】如图,直线与y轴交于点A,与抛物线交于P,Q,点B与点A关于x轴对称,连接QB,BP并延长分别与x轴交于点M,N.
(1)若,求抛物线C的方程;
(2)若,求外接圆的方程.
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【题目】如图所示,在四棱锥中,底面为平行四边形
∠ADC=45°,,为的中点,⊥平面,,为的中点.
(1)证明:⊥平面;
(2)求直线与平面所成角的正切值.
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