Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为

3

2

，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围；
（3）过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于P，S，R，Q四点，设原点O到四边形PQSR的一边距离为d，试求d=1时a，b满足的条件．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

2a=4 e= c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得即可；
（2）直线l的方程为y=kx+2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立，由△＞0，解得k的取值范围．可得根与系数的关系．
若∠AOB为锐角，则

OA

•

OB

＞0，把根与系数的关系代入又得到k的取值范围，取其交集即可．
（3）如图所示，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），S（-x₁，-y₁），R（-x₂，-y₂）．
①当直线PS与QR的斜率都存在时，设直线PS：y=kx，则直线QR：y=-

1

k

x．与椭圆方程联立解得

x

2 1

，

x

2 2

．直线PR的斜率存在时，则直线PR：y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，化为（y₂-y₁）x+（x₁-x₂）y+x₂y₁-x₁y₂=0．由于d=1，利用点到直线的距离公式可得

|x2y1-x1y2|

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=1，化简并代入即可化为a²b²=a²+b²．
②当直线PS与QR的斜率有一个不存在时，直线PR的斜率不存在时，经验证上式也成立．

解答：解：（1）由题意可得

2a=4 e= c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=1，c=

3

．∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1；
（2）直线l的方程为y=kx+2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立

y=kx+2 x2+4y2=4

，化为（1+4k²）x²+16kx+12=0，由△=16²k²-48（1+4k²）＞0，解得k＞

3

2

或k＜-

3

2

．∴x1+x2=

-16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

．
若∠AOB为锐角，则

OA

•

OB

＞0，得x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4＞0，代入得

12(1+k2)

1+4k2

+

-32k2

1+4k2

+4＞0，化为k²＜4，解得-2＜k＜2．∴直线l的斜率k的取值范围为{x|-2＜k＜2}∩{x|k＜-

3

2

或k＞

3

2

}={k|-2＜k＜-

3

2

或

3

2

＜x＜2}．
（3）如图所示，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），S（-x₁，-y₁），R（-x₂，-y₂）．
①当直线PS与QR的斜率都存在时，设直线PS：y=kx，则直线QR：y=-

1

k

x．
联立

y=kx b2x2+a2y2=a2b2

，解得

x

2 1

=

a2b2

b2+a2k2

．（*）
联立

y=- 1 k x b2x2+a2y2=a2b2

，解得

x

2 2

=

a2b2k2

a2+b2k2

．（**）
直线PR的斜率存在时，则直线PR：y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，化为（y₂-y₁）x+（x₁-x₂）y+x₂y₁-x₁y₂=0．
∵d=1，∴

|x2y1-x1y2|

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=1，
代入化为：(k+

1

k

)2

x

2 1

x

2 2

=k2

x

2 1

+

1

k2

x

2 2

+

x

2 1

+

x

2 2

．
把（*）（**）代入上式：

(k2+1)2

k2

•

a4b4k2

(a2+b2k2)(b2+a2k2)

=

a2b2k2

b2+a2k2

+

a2b2

a2+b2k2

+

a2b2

b2+a2k2

+

a2b2k2

a2+b2k2

．
化为a²b²=a²+b²．
即

1

a2

+

1

b2

=1为定值．
②当直线PS与QR的斜率有一个不存在时，直线PR的斜率不存在时，经验证上式也成立．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、直线的点斜式、分类讨论思想方法等是解题的关键．