Question

已知函数f（x）=-

1

2

x2-2x，g（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），其中a为常数．如果h（x）=f（x）+g（x）是增函数，且h′（x）存在零点（h′（x）为h（x）的导函数）．
（1）求a的值；
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函数y=g（x）的图象上两点，g′(x0) =

y2-y1

x2-x1

（g′（x）为g（x）的导函数），证明：x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

分析：（1）把f（x）和g（x）代入得到h（x），求出h′（x），因为h（x）是增函数，所以h′（x）≥0，根据h′（x）存在零点讨论a的取值为a＞1，利用△=0求出a即可；
（2）由（1）求出g′（x₀），利用g′(x0) =

y2-y1

x2-x1

构造函数r（x），讨论函数的增减性，得到x₁＜x₀＜x₂．

解答：解：（1）因为h（x）=

1

2

x²-2x+log_a^x （x＞0），
所以h′（x）=x-2+

1

xlna

=

x2lna-2xlna+1

xlna

．
因为h（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
所以

x2lna-2xlna+1

xlna

≥0在区间（0，+∞）上恒成立．
若0＜a＜1，则lna＜0，于是x²lna-2xlna+1≤0恒成立．
又h′（x）存在正零点，故△=（-2lna）²-4lna=0，lna=0，或lna=1与lna＜0矛盾．所以a＞1．
由x²lna-2xlna+1≥0恒成立，又h′（x）存在正零点，故△=（-2lna）²-4lna=0，
所以lna=1，即a=e．
（2）由（1），g′（x₀）=

1

x0

，于是

1

x0

=

y2-y1

x2-x1

，x₀=

x2-x1

lnx2-lnx1

以下证明x₁＜

x2-x1

lnx2-lnx1

（※）
（※）等价于x₁lnx₂-x₁lnx₁-x₂+x₁＜0．
令r（x）=xlnx₂-xlnx-x₂+x
r′（x）=lnx₂-lnx，在（0，x₂]上，r′（x）＞0，所以r（x）在（0，x₂]上为增函数．
当x₁＜x₂时，r（x₁）＜r（x₂）=0，即x₁lnx₂-x₁lnx₁-x₂+x₁＜0，
从而x₀＞x₁得到证明．
对于x₂＞

x2-x1

lnx2-lnx1

同理可证，所以x₁＜x₀＜x₂．

点评：考查学生会进行导数的运算，理解函数零点的意义，会利用导数研究函数的单调性．