Question

【题目】已知函数

（Ⅰ）若的定义域和值域均是，求实数的值；

（Ⅱ）若在区间上是减函数，且对任意的，都有，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若，且对任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（I）由函数f（x）的解析式，可得函数在（-∞，a]上单调递减，进而得到f（x）在[1，a]上单调递减，则，由此构造关于a的方程组，解之可得答案．（Ⅱ）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，则（-∞，2]（-∞，a]，进而结合x∈[1，a+1]时，f（x）max=f（1），构造关于a的不等式，解不等式，可得答案．（III）由函数g（x）在[0，1]上递增，f（x）在[0，1]上递减，可分别求出两个函数的值域，若对任意的x∈[0，1]，都存在x0∈[0，1]，使得f（x0）=g（x）成立；则两个函数的值域满足：[1，3][6-2a，5]，进而可得答案

试题解析：（Ⅰ）∵

∴在上单调递减，又，∴在上单调递减，

∴， ∴， ∴

（Ⅱ）∵在区间上是减函数， ∴ ∴

∴，

∴时，

又∵对任意的，都有，

∴， 即 ， ∴

（Ⅲ）∵在上递增，在上递减，

当时，，

∵对任意的，都存在，使得成立；

∴

∴