Question

【题目】求满足下列条件的曲线的方程：

（1）离心率为，长轴长为6的椭圆的标准方程

（2）与椭圆有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程．

Answer 1

【答案】（1）或； （2）

【解析】

(1)根据题意,由椭圆的几何性质可得a、c的值,计算可得b的值,讨论椭圆焦点的位置,求出椭圆的标准方程,即可得答案；

(2)根据题意,求出椭圆的焦点坐标,进而可以设双曲线的方程为,分析可得和,解可得a、b的值,即可得答案．

解：（1）根据题意,要求椭圆的长轴长为6,离心率为,

则,,

解可得：,；

则,

若椭圆的焦点在x轴上,其方程为,

若椭圆的焦点在y轴上,其方程为,

综合可得：椭圆的标准方程为或；

（2）根据题意,椭圆的焦点为和,

故要求双曲线的方程为,且,

则有,

又由双曲线经过经过点,则有,,

联立可得：,

故双曲线方程为：