Question

【题目】如图，在中，，是的中点，是线段上的一点，且，，将沿折起使得二面角是直二面角．

（l）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】分析：（l）由勾股定理可得，结合是的中点可得，根据线面平行的判定定理可得平面；（2）据题设分析知，两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用向量垂直数量积为零，列方程求出平面的一个法向量，由空间向量夹角余弦公式求出直线与平面所成角的正弦值，进而可得结果.

详解：(1)因为，所以

又，，

所以

又因为

所以是的斜边上的中线，所以是的中线，

所以是的中点，

又因为是的中位线，

所以

又因为平面，平面，所以平面.

（2）据题设分析知，两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：

因为，且分别是的中点，

所以，

所以有点，

所以，

设平面的一个法向量为，则

即，所以

令，则

设直线与平面所成角的大小为，则.

又，所以，

所以.

故直线与平面所成角的正切值为.