Question

【题目】【2017湖南长沙二模】已知函数，.

（1）证明：，直线都不是曲线的切线；

（2）若，使成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）若直线与曲线相切，因直线过定点，若设切点则可得①，又，上单调递增，当且仅当时，①成立，这与矛盾,结论得证.

（2）可转化为，令，，，分类讨论求的最小值即可.

试题解析：（1）的定义域为，，直线过定点，若直线与曲线相切于点（且），则，即①，设，，则，所以在上单调递增，又，从而当且仅当时，①成立，这与矛盾.

所以，，直线都不是曲线的切线；

（2）即，令，，

则，使成立，

.

（i）当时，，在上为减函数，于是，由得，满足，所以符合题意；

（ii）当时，由及的单调性知在上为增函数，所以，即.

①若，即，则，所以在为增函数，于是，不合题意；

②若，即，则由，及的单调性知存在唯一，使，且当时，，为减函数；当时，，为增函数；

所以，由得，这与矛盾，不合题意.

综上可知，的取值范围是.