Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线与圆相切，与椭圆相交于两点，求证：是定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）利用离心率可得，进而得到；将点代入椭圆方程可求得，从而得到椭圆方程；

（2）①当直线斜率不存在时，可求得坐标，从而得到，得到；②当直线斜率存在时，设直线方程为，由直线与圆相切可得到；将直线方程与椭圆方程联立可得到韦达定理的形式，从而表示出，整理可得，得到；综合两种情况可得到结论.

（1）由题意得：，即 椭圆方程为

将代入椭圆方程得：

椭圆的方程为：

（2）①当直线斜率不存在时，方程为：或

当时，，，此时

当时，同理可得

②当直线斜率存在时，设方程为：，即

直线与圆相切 ，即

联立得：

设， ，

代入整理可得：

综上所述：为定值