Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2，AD= ，∠DAB= ，PD⊥AD，PD⊥DC．
（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为 ，求AP与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：∵AB=2，AD= ，∠DAB= ， ∴BD= =1
∴AB2=AD2+BD2 ， ∴AD⊥BD，∴BC⊥BD
∵PD⊥AD，PD⊥DC，∴PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC
又∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）解：由（1）所证，BC⊥平面PBD，所以∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=
而BD=1，所以PD= ，
分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（ ，0，0），B（0，1，0），C（﹣ ，1，0），P（0，0， ）
所以 =（﹣ ，0， ）， =（﹣v，0，0）， =（0，﹣1， ），
设平面PBC的法向量为 =（a，b，c），∴
可解得 =（0， ，1），
∴AP与平面PBC所成角的正弦值为sinθ=| |= ．

【解析】（Ⅰ）证明BC⊥BD，PD⊥BC，即可证明BC⊥平面PBD；（Ⅱ）确定∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量及平面PBC的法向量，利用向量的数量积公式，即可求得AP与平面PBC所成角的正弦值．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则即可以解答此题．