Question

如图，三棱锥P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．

   (I) 求证：AB平面PCB；

   (II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；

（III）求二面角C-PA-B的大小．

Answer 1

(1)证明见解析(2)  (3) arcsin

解析:

解法一：(I) ∵PC平面ABC，平面ABC，

∴PCAB．…………………………2分

∵CD平面PAB，平面PAB，

∴CDAB．…………………………4分

又，

∴AB平面PCB．  …………………………5分

(II) 过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．

则为异面直线PA与BC所成的角．………6分

由（Ⅰ）可得AB⊥BC，

∴CFAF．

由三垂线定理，得PFAF．

则AF=CF=，PF=，

在中，  tan∠PAF==，

∴异面直线PA与BC所成的角为．…………………………………9分

（III）取AP的中点E，连结CE、DE．

∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．

∵CD平面PAB，

由三垂线定理的逆定理，得  DE PA．

∴为二面角C-PA-B的平面角．…………………………………11分

由(I) AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．

　　在中，PB=，

    ．

    在中， sin∠CED=．

∴二面角C-PA-B的大小为arcsin．……14分

解法二：（I）同解法一．

(II) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，

又∵AB=BC，可求得BC=．

以B为原点，如图建立坐标系．

则Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），

C（，０，0），P（，０，2）．

，．

…………………7分

    则+0+0=2．

    == ．

   ∴异面直线AP与BC所成的角为．………………………10分

（III）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)．

，，

则   即

解得   令= -1,  得 m= (，0，-1)．

   设平面PAC的法向量为n=()．

，，

 则   即

解得   令=1,  得 n= (1，1，0)．……………………………12分

    =．

    ∴二面角C-PA-B的大小为arccos．………………………………14分