Question

设x1、x2是函数f(x)＝x3＋x2－a2x(a＞0)的两个极值点，且｜x1｜＋｜x2｜＝2． (1) 证明：｜b｜≤ (2) 若函数h(x)＝(x)－2a(x－x1)，证明：当x1＜x＜2且x1＜0时，｜h(x)｜≤4a．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：(x)=ax2＋bx－a2∵x1、x2是f(x)的两个极值点，∴x1、x2是方程(x)=0的两实数根． 　　∵a＞0，∴x1x2=－a＜0，x1十x2=－， 　　∴｜x1｜＋｜x2｜=｜x1－x2｜= 　　∵｜x1｜＋｜x2｜=2，∴＋4a=4，即b2=4a2－4a3．∵b2≥0，∴0＜a≤1． 　　设g(a)=4a2－4a3，则(a)=8a－12a2=4a(2－3a)． 　　由(a)＞00＜a＜，(a)＜0＜a≤1，得g(a)在区间上是增函数，在区间上是减函数， 　　∴g(a)max=g=∴｜b｜≤． 　　分析：①根据导函数方程的特征，把已知条件转化为b关于a的函数，同时求出定义域；②利用导数把所证转化为求函数值域． 　　点评：证明参数的取值范围．可考虑转化为求函数的值域
(2)	∵x1、x2是方程(x)=0的两个实数根，∴(x)=a(x－x1)(x－x2)． 　　∴h(x)=a(x－x1)(x－x2)－2a(x－x1)=a(x－x1)(x－x2－2)， 　　∴｜h(x)｜=a｜x－x1｜｜x－x2－2｜≤a2． 　　∵x＞x1，∴｜x－x1｜=x－x1．又x1＜0，x1x2＜0，∴x2＞0． 　　∵x＜2，∴x－x2－2＜0，∴｜x－x2－2｜=x2＋2－x 　　∴｜x－x1｜＋｜x－x2－2｜=x2－x1＋2=4． 　　∴｜h(x)｜≤4a． 　　分析：①把导数关于极值点的表达式代入所给函数；②对函数式变形，利用均值不等式得证． 　　点评：当所证不等式与极值点相关时，可考虑利用导函数关于极值点的表达式，根据相关不等式的知识给出证明．