Question

【题目】高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.

（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？

（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为，求的分布列与数学期望.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的分布列见解析，数学期望是

【解析】

（Ⅰ）若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，根据二项分布公式可求得概率；（Ⅱ）落入4号容器的小球个数的可能取值为0，1，2，3，算出对应事件概率，利用离散型随机变量分布列数学期望的公式可求得结果.

解：（Ⅰ）记“小球落入4号容器”为事件，

若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，

∴理论上，小球落入4号容器的概率.

（Ⅱ）落入4号容器的小球个数的可能取值为0，1，2，3，

∴，，

，，

∴的分布列为：

	0	1	2	3

∴.