Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，，E为PB中点.利用空间向量方法完成以下问题：

（1）求二面角E-AC-D的余弦值；

（2）在棱PD上是否存在点M，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）在棱上存在点,使，且

【解析】

（1）取的中点，建立空间坐标系，分别求出平面和的法向量，再由二面角的向量公式即可求出；

（2）假设存在点，设出点的坐标，由三点共线得，，

可用表示出点，再利用，求出，满足即可，即得的值．

（1）取的中点，连结，.因为底面为矩形,所以.因为，,所以∥，所以.

又因为平面PCD⊥平面ABCD,平面平面PCD∩平面ABCD=CD.

所以PO⊥平面ABCD，

如图，建立空间直角坐标系,则，

设平面的法向量为，

所以令，则，所以.

平面的法向量为，则.

如图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.

（2）在棱上存在点,使.设,则.

因为,所以.

.因为,所以.

所以，解得.

所以在棱上存在点,使，且.