Question

【题目】若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是线段上一动点，.给出下列四个结论：

①为的重心；

②；

③当时，平面；

④当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为.

其中，所有正确结论的序号是________________.

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①点在平面内的正投影为点，而正方体的体对角线与和它不相交的的面对角线垂直，所以直线垂直于平面，而为正三角形，可得为正三角形的重心，所以①是正确的；

②取的中点，连接，则点在平面的正投影在上，记为，而平面平面，所以，所以②正确；

③若设，则由可得，然后对应边成比例，可解，所以③正确；

④由于，而的面积是定值，所以当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，而当点与点重合时，点到平面的距离最大，此时为棱长为的正四面体，其外接球半径，则球，所以④错误.

因为，连接，则有平面平面为正三角形，所以为正三角形的中心，也是的重心，所以①正确；

由平面，可知平面平面，记，

由，可得平面平面，则，所以②正确；

若平面，则，设由得，易得，由，则，由得，，解得，所以③正确；

当与重合时，最大，为棱长为的正四面体，其外接球半径，则球，所以④错误.

故答案为：①②③