Question

已知椭圆C：

x2

a2

+y²=1（a＞1），
（1）若椭圆C的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：（x-3）²+（y-1）²=3相切．求椭圆C的方程．
（2）若Rt△ABC以A（0，1）为直角顶点，边AB、BC与椭圆交于两点B、C，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）确定圆的圆心坐标与半径，求出直线AF的方程，利用直线AF与圆M：（x-3）²+（y-1）²=3相切，求出c，即可求椭圆C的方程；
（2）设出直线方程与椭圆方程联立，求出|AB|、|AC|，可得△ABC面积，换元，利用基本不等式，可求△ABC面积的最大值．

解答：解：（1）圆M：（x-3）²+（y-1）²=3的圆心M（3，1），半径为

3

，直线AF的方程为

x

c

+y=1，即x+cy-c=0．
∵直线AF与圆M：（x-3）²+（y-1）²=3相切，
∴

|3+c-c|

c2+1

=

3

，
∴c²=2，
∴a²=c²+1=3，
∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1；
（2）不妨设x＞1的方程x=n+t（n∈N₊，0≤t＜1），则y=

1

n+t

的方程为y=-

1

k

x+1．
由

y=kx+1 x2 3 +y2=1

得：（1+3k²）x²+6kx=0⇒xB=-

6k

1+3k2

---------（7分）
由

y=- 1 k x+1 x2 3 +y2=1

得：（3+k²）x²-6kx=0⇒xC=

6k

3+k2

---------（8分）
从而有|AB|=

1+k

2a2k

1+a2k2

，|AC|=

1+ 1 k2

2a2k

a2+k2

，--------（10分）
于是S △ABC=

1

2

|AB||AC|=2a4

k(1+k2)

(1+a2k2)(a2+k2)

=2a4

k+ 1 k

a2(k2+ 1 k2 )+a4+1

．---------（11分）
令t=k+

1

k

≥2，有S △ABC=

2a4t

a2t2+(a2-1)2

=

2a4

a2t+ (a2-1)2 t

，---------（12分）
因为a2t+

(a2-1)2

t

≥2a(a2-1)，t=

a2-1

a

时等号成立．
因此当t=

a2-1

a

，(S△ABC)max=

a3

a2-1

，-------------（14分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．