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    【题目】已知函数，.

    （1）求函数在点处的切线方程；

    （2）求函数的单调区间；

    （3） 求证：当时，恒成立.

    【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析

    【解析】

    （1）求出函数的导函数，得到切线斜率，利用点斜式得到切线方程；

    （2）解不等式即可得到函数的单调区间；

    （3）要证恒成立，即证恒成立.分别求左侧函数与右侧函数的最小值与最大值即可.

    （1）解：∵，，

    ∴.

    ∴.又∵，

    ∴，即.

    ∴函数在点处的切线方程为.

    （2）解：函数的定义域为.

    ，

    当时，；当时，.

    ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

    （3）证明：由，得，

    ∴要证恒成立，即证恒成立.

    令，，.

    ∵，

    ∴当时，，为增函数；

    当时，，为减函数.

    ∴.

    又∵，

    ∴当时，，为增函数；

    当时，，为减函数.

    ∴.

    ∴恒成立.

    ∴当时，恒成立.

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