Question

已知A（-5，0），B（5，0），动点P满足|

PB

|，

1

2

|

PA

|，8成等差数列．
（1）求P点的轨迹方程；
（2）对于x轴上的点M，若满足|

PA

|•|

PB

|=

PM

2，则称点M为点P对应的“比例点”．问：对任意一个确定的点P，它总能对应几个“比例点”？

Answer 1

分析：（1）由条件|

PB

|，

1

2

|

PA

|，8成等差数列．得到条件方程，进行化简，然后根据圆锥曲线的定义进行求解．
（2）根据条件|

PA

|•|

PB

|=

PM

2，建立方程关系，利用一元二次方程根与系数之间的关系，利用判别式进行判断．

解答：解：（1）∵动点P满足|

PB

|，

1

2

|

PA

|，8成等差数列．
∴|

PA

|-|

PB

|=8＜|AB|，
∴P点的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，
且a=4，b=3，c=5．
∴P的轨迹方程为

x2

16

-

y2

9

=1，(x≥4)．
（2）设P（x₀，y₀），（x₀≥4），M（m，0），
∵

x 2 0

16

-

y 2 0

9

=1，
∴

y

2 0

=9(

x 2 0

16

-1)，
又

PA

=(-5-x0，-y0)，

PB

=(5-x0，-y0)，
则|

PA

|•|

PB

|=

(-5-x0)2+(-y0)2

?

(5-x0)2+(-y0)2

=

( 25 16 x 2 0 -16)2

=

25

16

x

2 0

-16，
又

PM

2=|

PM

|2=(x0-m)2+

y

2 0

=

25

16

x

2 0

-2mx0+m2-9．
由|

PA

|•|

PB

|=

PM

2，得m²-2mx₀+7=0．（*）
∵△=4

x

2 0

-28≥36＞0
∴方程(*)恒有两个不等实根，
即对任意一个确定的点P，它总能对应2个“比例点”．

点评：本题主要考查圆锥曲线的定义和应用，以及一元二次方程的应用，综合性较强，考查学生的运算能力．