Question

已知A（5，0），0为坐标原点，点P的坐标（x，y）满足

4x-3y≤0 4x-5y+8≥0 y≥0

，则向量

OA

在向量

OP

方向上的投影的取值范围是（　　）

• A、[-5，3]
• B、[2，4]
• C、[-5，4]
• D、[-2，3]

Answer 1

分析：先根据约束条件画出可行域，由于

OA

=（5，0），向量

OP

=（x，y），设向量

OA

在向量

OP

方向上的投影为z，再利用z的几何意义求范围，只需求出向量

OA

和

OP

的夹角的余弦值的取值范围即可，从而得到z范围即可．

解答：解：z=

OA • OP

| OP |

=|

OA

|•cos∠AOP=5cos∠AOP，
∵∠AOP∈[∠AOB，π]，
∴当∠AOP=∠AOB 时，zmax=5cos∠AOB=5×

3

5

=3，
当∠AOP=π时，z_min=5cosπ=-5，
∴z的取值范围是[-5，3]．
故选A．

点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．