Question

已知圆C经过点A（-2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．
（I）求圆C的方程；
（II）若

OP

•

OQ

=-2，求实数k的值；
（III）过点（0，1）作直线l₁与l垂直，且直线l₁与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）设圆心C（a，a），半径为r，利用|AC|=|BC|=r，建立方程，从而可求圆C的方程；
（II）方法一：利用向量的数量积公式，求得∠POQ=120°，计算圆心到直线l：kx-y+1=0的距离，即可求得实数k的值；
方法二：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线方程代入圆的方程，利用韦达定理及

OP

•

OQ

=x₁•x₂+y₁•y₂=，即可求得k的值；
（III）方法一：设圆心O到直线l，l₁的距离分别为d，d₁，求得d12+d2=1，根据垂径定理和勾股定理得到，|PQ|=2•

4-d2

，|MN|=2•

4-d12

，再利用基本不等式，可求四边形PMQN面积的最大值；
方法二：当直线l的斜率k=0时，则l₁的斜率不存在，可求面积S；当直线l的斜率k≠0时，设l1：y=-

1

k

x+1，则

y=kx+1 x2+y2=4

，代入消元得（1+k²）x²+2kx-3=0，求得|PQ|，|MN|，再利用基本不等式，可求四边形PMQN面积的最大值．

解答：解：（I）设圆心C（a，a），半径为r．
因为圆经过点A（-2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，
所以

(a+2)2+a2

=

a2+(a-2)2

=r
解得a=0，r=2，…（2分）
所以圆C的方程是x²+y²=4．…（4分）
（II）方法一：因为

OP

•

OQ

=2×2×cos＜

OP

，

OQ

＞=-2，…（6分）
所以cos∠POQ=-

1

2

，∠POQ=120°，…（7分）
所以圆心到直线l：kx-y+1=0的距离d=1，…（8分）
又d=

1

k2+1

，所以k=0．…（9分）
方法二：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
因为

y=kx+1 x2+y2=4

，代入消元得（1+k²）x²+2kx-3=0．…（6分）
由题意得：

△=4k2-4(1+k2)(-3)＞0 x1+x2= -2k 1+k2 x1•x2= -3 1+k2

…（7分）
因为

OP

•

OQ

=x₁•x₂+y₁•y₂=-2，
又y1•y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1•x2+k(x1+x2)+1，
所以x₁•x₂+y₁•y₂=

-3

1+k2

+

-3k2

1+k2

+

-2k2

1+k2

+1=-2，…（8分）
化简得：-5k²-3+3（k²+1）=0，
所以k²=0，即k=0．…（9分）
（III）方法一：设圆心O到直线l，l₁的距离分别为d，d₁，四边形PMQN的面积为S．
因为直线l，l₁都经过点（0，1），且l⊥l₁，根据勾股定理，有d12+d2=1，…（10分）
又根据垂径定理和勾股定理得到，|PQ|=2•

4-d2

，|MN|=2•

4-d12

，…（11分）
而S=

1

2

•|PQ|•|MN|，即

S= 1 2 ×2× 4-d12 ×2× 4-d2 =2 16-4(d12+d2)+d12•d2 =2 12+d12•d2 ≤2 12+( d12+d2 2 )2 =2 12+ 1 4 =7，

…（13分）
当且仅当d₁=d时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）
方法二：设四边形PMQN的面积为S．
当直线l的斜率k=0时，则l₁的斜率不存在，此时S=

1

2

•2

3

•4=4

3

．…（10分）
当直线l的斜率k≠0时，设l1：y=-

1

k

x+1
则

y=kx+1 x2+y2=4

，代入消元得（1+k²）x²+2kx-3=0
所以

△=4k2-4(1+k2)(-3)＞0 x1+x2= -2k 1+k2 x1•x2= -3 1+k2

|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

4k2+12k2+12

1+k2

=

1+k2 16k2+12

1+k2

同理得到|MN|=

1+ 1 k2

16 1 k2 +12

1+ 1 k2

=

1+k2 12k2+16

1+k2

．…（11分）

S= 1 2 •|PQ|•|MN| = 1 2 • (1+k2) (16k2+12)(12k2+16) (1+k2)2 = 1 2 • 16(4k2+3)(3k2+4) 1+k2 = 2 12k4+25k2+12 1+k2 =2 12(k4+2k2+1)+k2 k4+2k2+1

=2

12+ k2 k4+2k2+1

=2

12+ 1 k2+2+ 1 k2

…（12分）
因为k2+2+

1

k2

≥2+2

k2• 1 k2

=4，
所以 S≤2

12+ 1 4

=2×

7

2

=7，…（13分）
当且仅当k=±1时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）

点评：本题考查圆的标准方程，考查向量的数量积，考查圆的性质，考查四边形面积的计算，考查基本不等式的运用，解题的关键是正确表示四边形的面积，属于中档题．