Question

【题目】给定正整数.将三种水果分装在个箱子中.试求最小的正整数，使得无论水果如何分布，总可选出个箱子，它们所装的三种水果都不少于各自总量的一半.

Answer 1

【答案】

【解析】

记三种水果为、、，表示第个箱子中所装的水果的量.

考虑这样的分布：一只箱子装所有的水果，另一只箱子装所有的水果，其余只箱子平均装所有的水果.

显然，，其中，表示不超过实数的最大整数.

下证：就是所求的最小值

首先证明一个引理.

引理 只箱子中装有、两种水果，单箱水果的最大值为，水果的最大值为则可将所有的箱子分为、两组，每组只箱子，使得

，

.

证明 设

令，.则.

假定已将，，，，等分为，，

满足.

不妨设，和中水果较少的为，较多的为.

令,

则

.

依此，全部只箱子分为两组

，，且

不妨设.

注意到，由原来的排序知

则.

回到原题.

当为偶数时，设第1箱中水果最多，余下的箱中第2箱水果最多，另外箱依引理等分为、两组.

设.由，

知所装的三种水果都不少于各自总量的一半，且其箱子数为.

当为奇数时，先任取一箱，余下的箱同上处理，共取出箱，所装的三种水果都不少于各自总量的一半.

因此，所求的在的最小值为