Question

【题目】己知函数在处的切线方程为，函数.

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的极值；

（3）设（表示，中的最小值），若在上恰有三个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）极小值，无极大值．（3）

【解析】

（1）先求得函数导数，利用切点坐标和函数在时切线的斜率也即导数列方程组，解方程组求得的值，进而求得函数的解析式.（2）先求得的定义域和导函数，对分成两种情况，通过函数的单调性讨论函数的极值.（3）先根据（1）判断出有且仅有一个零点，故需在上有仅两个不等于1的零点.根据（2）判断出当时，没有三个零点；当时，通过零点存在性定理以及利用导数的工具作用，证得分别在，分别有个零点，符合题意.由此求得实数的取值范围.

解：（1）

因为在处的切线方程为

所以，

解得

所以

（2）的定义域为，

①若时，则在上恒成立，

所以在上单调递增，无极值

②若时，则当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

所以当时，有极小值，无极大值．

（3）因为仅有一个零点1，且恒成立，

所以在上有仅两个不等于1的零点．

①当时，由（2）知，在上单调递增，

在上至多一个零点，不合题意，舍去

②当时，，在无零点

③当时，，当且仅当等号成立，在仅一个零点

④当时，，，所以，

又图象不间断，在上单调递减

故存在，使

又

下面证明，当时，

，在上单调递增

所以，

又图象在上不间断，在上单调递增，

故存在，使

综上可知，满足题意的的范围是