Question

【题目】已知函数.

（1）求证：当时，函数在上，存在唯一的零点；

（2）当时，若存在，使得成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）（0，1）.

【解析】试题分析：（1）先证明函数在（0，+∞）上单调递增，再根据零点存在定理证明上存在零点即可。（2）“若存在，使得成立”转化为

“”，利用导数可得 ，从而由得，设g（a）=lna+a﹣1，由g（a）的单调性可得当0＜a＜1时，g（a）＜0，故所求范围为（0，1）。

试题解析：

（1）证明：∵， ，

∴，

∵，

∴，

∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，

又当a≤0时， ， ，

所以函数上存在唯一零点。

（2）由（1）得，

∵a＞0，

∴当x∈（0， ）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减。

∴在x=时取得最大值，且最大值为。

“存在”等价于

∴，

∴，

令g（a）=lna+a﹣1

∵g（a）在（0，+∞）单调递增，且g（1）=0，

∴当0＜a＜1时，g（a）＜0；当a＞1时，g（a）＞0。

∴a的取值范围为（0，1）。