Question

在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=

1

4

b²．
（Ⅰ）当p=

5

4

，b=1时，求a，c的值；
（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得a和c的值．
（Ⅱ）先利用余弦定理求得a，b和c的关系，把题设等式代入表示出p²，进而利用cosB的范围确定p²的范围，进而确定pd 范围．

解答：（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理得

a+c= 5 4 ac= 1 4

故可知a，c为方程x²-

5

4

x+

1

4

=0的两根，
进而求得a=1，c=

1

4

或a=

1

4

，c=1
（Ⅱ）解：由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB=p²b²-

1

2

b²cosB-

1

2

b2，
即p²=

3

2

+

1

2

cosB，
因为0＜cosB＜1，
所以p²∈（

3

2

，2），由题设知p∈R，所以

6

2

＜p＜

2

或-

2

＜p＜-

6

2

又由sinA+sinC=psinB知，p是正数
故

6

2

＜p＜

2

即为所求

点评：本题主要考查了解三角形问题．学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用．