Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，点为棱的中点..

证明：平面.

若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】证明见解析；.

【解析】

在上找中点，连接,，利用三角形中位线性质得出，因为底面是直角梯形，,所以能得出平行且等于，得出四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定，即可证出平面；

根据,求出向量的坐标，进而求出平面和平面的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角的余弦值.

解：证明：在上找中点，连接,，图象如下：

和分别为和的中点，

，且,

又底面是直角梯形，

，且，

且.即四边形为平行四边形.

.

平面，平面，

平面.

以为原点，以所在直线为轴,所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

可得，,，，，

,， .

由为棱上一点，设,

所以,

由，得,

解得，

即,,

设平面的法向量为，

由可得

所以，令，则，则，

取平面的法向量为，

则二面角的平面角满足：

,

故二面角的余弦值为.