Question

5．已知数列{a_n}的首项a₁=1，且满足a_n+1-a_n≤n•2ⁿ，a_n-a_n+2≤-（3n+2）•2ⁿ，则a₂₀₁₇=2015×2²⁰¹⁷+3．

Answer 1

分析 a_n+1-a_n≤n•2ⁿ，a_n-a_n+2≤-（3n+2）•2ⁿ，可得a_n+1-a_n+2≤n•2ⁿ-（3n+2）•2ⁿ=-（n+1）•2ⁿ⁺¹．即a_n+2-a_n+1≥（n+1）•2ⁿ⁺¹．又a_n+2-a_n+1≤（n+1）•2ⁿ⁺¹．可得a_n+2-a_n+1=（n+1）•2ⁿ⁺¹．a_n+1-a_n=n•2ⁿ，（n=1时有时成立）．再利用累加求和方法、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1-a_n≤n•2ⁿ，a_n-a_n+2≤-（3n+2）•2ⁿ，
∴a_n+1-a_n+2≤n•2ⁿ-（3n+2）•2ⁿ=-（n+1）•2ⁿ⁺¹．即a_n+2-a_n+1≥（n+1）•2ⁿ⁺¹．
又a_n+2-a_n+1≤（n+1）•2ⁿ⁺¹．
∴a_n+2-a_n+1=（n+1）•2ⁿ⁺¹．
可得：a_n+1-a_n=n•2ⁿ，（n=1时有时成立）．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=（n-1）•2^n-1+（n-2）•2^n-2+…+2•2²+2+1．
2a_n=（n-1）•2ⁿ+（n-2）•2^n-1+…+2²+2，
可得：-a_n=-（n-1）•2ⁿ+2^n-1+2^n-2+…+2²+1=$\frac{2（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-1-（n-1）•2ⁿ．
∴a_n=（n-2）•2ⁿ+3．
∴a₂₀₁₇=2015•2²⁰¹⁷+3．
故答案为：2015×2²⁰¹⁷+3．

点评 本题考查了等比数列的通项公式求和公式、数列递推关系、累加求和方法、等不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．